奖品的完税证明由 税务机关负责开具。具体来说，如果奖品是由销售公司代扣代缴个人所得税的，那么销售公司需要依法给纳税人开具完税证明。对于本单位职工获得的奖品，根据《中华人民共和国个人所得税法实施条例》，单位也有代扣代缴个人所得税的义务，并且需要开具相应的完税证明。
纳税人可以携带有效身份证件到所在地的地税局大厅进行开具完税证明，如果需要委托他人代办，则还需要提交纳税人身份证件、纳税人签名委托书以及代办人身份证件。此外，如果单位需要为员工申请完税证明，则需要提供完税凭证的纳税人名单和经办人身份证件。
综上所述，奖品的完税证明开具部门是税务机关，具体办理地点为当地的地税局大厅，也可以选择在网上打印完税证明，但需要确认是否被接受作为证明文件提交。
